Cinemática Bidimensional: Movimento em um Plano

Este artigo descreve os conceitos fundamentais necessários para analisar o movimento de objetos em duas dimensões, sem levar em consideração as forças que causam a aceleração envolvida. Um exemplo desse tipo de problema seria jogar uma bola ou atirar uma bala de canhão. Pressupõe familiaridade com cinemática unidimensional, pois expande os mesmos conceitos em um espaço vetorial bidimensional.

A cinemática envolve deslocamento, velocidade e aceleração, que são todos quantidades de vetor que exigem magnitude e direção. Portanto, para iniciar um problema na cinemática bidimensional, você deve primeiro definir o sistema de coordenadas você está usando. Geralmente será em termos de um xeixo e um y- eixo, orientado para que o movimento esteja na direção positiva, embora possa haver algumas circunstâncias em que esse não é o melhor método.

Nos casos em que a gravidade está sendo considerada, é costume fazer a direção da gravidade no sentido negativo.y direção. Essa é uma convenção que geralmente simplifica o problema, embora seja possível realizar os cálculos com uma orientação diferente, se você realmente desejar.

O vetor de posição r é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até um determinado ponto no sistema. A mudança de posição (Δr, pronunciado "Delta r") é a diferença entre o ponto inicial (r₁) ao ponto final (r₂). Nós definimos o velocidade média (v_av) Como:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Tomando o limite como Δt aproximações 0, alcançamos o velocidade instantâneav. Em termos de cálculo, essa é a derivada de r em relação a tou dr/dt.

À medida que a diferença de tempo diminui, os pontos inicial e final se aproximam. Desde a direção de r é a mesma direção que v, fica claro que o vetor de velocidade instantânea em todos os pontos ao longo do caminho é tangente ao caminho.

A característica útil das quantidades vetoriais é que elas podem ser divididas em seus vetores componentes. A derivada de um vetor é a soma de suas derivadas componentes, portanto:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

A magnitude do vetor de velocidade é dada pelo Teorema de Pitágoras na forma:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

A direção de v é orientado alfa graus no sentido anti-horário a partir do x-component e pode ser calculado a partir da seguinte equação:

bronzeado alfa = v_y / v_x

Aceleração é a mudança de velocidade durante um determinado período de tempo. Semelhante à análise acima, descobrimos que é Δv/Δt. O limite disso como Δt aproxima-se de 0 produz a derivada de v em relação a t.

Em termos de componentes, o vetor de aceleração pode ser escrito como:

uma_x = dv_x/dt
uma_y = dv_y/dt

ou

uma_x = d²x/dt²
uma_y = d²y/dt²

A magnitude e o ângulo (denotados como beta distinguir de alfa) do vetor de aceleração líquida são calculados com componentes de maneira semelhante à velocidade.

Freqüentemente, a cinemática bidimensional envolve a quebra dos vetores relevantes em seus x- e y-components, analisando cada um dos componentes como se fossem casos unidimensionais. Uma vez concluída esta análise, os componentes de velocidade e / ou aceleração são então combinados novamente para obter os vetores bidimensionais de velocidade e / ou aceleração resultantes.

As equações acima podem ser expandidas para movimento em três dimensões adicionando um z-componente para a análise. Isso geralmente é bastante intuitivo, embora alguns cuidados devam ser tomados para garantir que isso seja feito no formato adequado, especialmente no que se refere ao cálculo do ângulo de orientação do vetor.

Editado por Anne Marie Helmenstine, Ph. D.