Exemplos comuns de conjuntos incontáveis

Nem todos os conjuntos infinitos são iguais. Uma maneira de distinguir entre esses conjuntos é perguntando se o conjunto é contável infinito ou não. Dessa maneira, dizemos que conjuntos infinitos são contáveis ​​ou incontáveis. Vamos considerar vários exemplos de conjuntos infinitos e determinar quais deles são incontáveis.

Começamos excluindo vários exemplos de conjuntos infinitos. Muitos dos conjuntos infinitos nos quais pensaríamos imediatamente são considerados infinitamente contáveis. Isso significa que eles podem ser colocados em uma correspondência individual com os números naturais.

Os números naturais, números inteiros e números racionais são todos infinitamente contáveis. Qualquer união ou interseção de conjuntos infinitamente contáveis ​​também é contável. O produto cartesiano de qualquer número de conjuntos contáveis ​​é contável. Qualquer subconjunto de um conjunto contável também é contável.

A maneira mais comum pela qual conjuntos incontáveis ​​são introduzidos é considerar o intervalo (0, 1) de

O conjunto inteiro de números reais também é incontável. Uma maneira de mostrar isso é usar a função tangente um para um f ( x ) = tan x. O domínio dessa função é o intervalo (-π / 2, π / 2), um conjunto incontável, e o intervalo é o conjunto de todos os números reais.

As operações da teoria básica de conjuntos podem ser usadas para produzir mais exemplos de conjuntos incontáveis ​​e infinitos:

• E se UMA é um subconjunto de B e UMA é incontável, então também B. Isso fornece uma prova mais direta de que todo o conjunto de números reais é incontável.
• E se UMA é incontável e B é qualquer conjunto, então a união UMA você B também é incontável.
• E se UMA é incontável e B é qualquer conjunto, então o produto cartesiano UMA x B também é incontável.
• E se UMA é infinito (até mesmo infinito), então o conjunto de força do UMA é incontável.

Dois outros exemplos, que são relacionados entre si, são um tanto surpreendentes. Nem todo subconjunto dos números reais é incontávelmente infinito (de fato, os números racionais formam um subconjunto contável dos reais que também é denso). Certos subconjuntos são incontáveis ​​e infinitos.

Um desses subconjuntos incontáveis ​​e infinitos envolve certos tipos de expansões decimais. Se escolhermos dois números e formarmos toda expansão decimal possível com apenas esses dois dígitos, o conjunto infinito resultante será incontável.

Outro conjunto é mais complicado de construir e também é incontável. Comece com o intervalo fechado [0,1]. Remova o terço médio deste conjunto, resultando em [0, 1/3] U [2/3, 1]. Agora remova o terço médio de cada uma das peças restantes do conjunto. Então (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) são removidos. Continuamos dessa maneira. O conjunto de pontos que permanecem após a remoção de todos esses intervalos não é um intervalo, no entanto, é incontávelmente infinito. Este conjunto é chamado de Cantor Set.

Existem infinitos conjuntos incontáveis, mas os exemplos acima são alguns dos conjuntos mais comuns.