Cálculos com a função gama

o função gama é definido pela seguinte fórmula de aparência complicada:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Uma pergunta que as pessoas têm quando encontram essa equação pela primeira vez é: “Como você usa essa fórmula para calcular valores da função gama? ” Essa é uma pergunta importante, pois é difícil saber o que essa função significa e o que todos os símbolos representam. para.

Uma maneira de responder a essa pergunta é examinar vários cálculos de amostra com a função gama. Antes de fazer isso, há algumas coisas do cálculo que precisamos saber, como integrar uma integral imprópria do tipo I e que e é uma constante matemática.

Antes de fazer qualquer cálculo, examinamos a motivação por trás desses cálculos. Muitas vezes as funções gama aparecem nos bastidores. Diversas funções de densidade de probabilidade são indicadas em termos da função gama. Exemplos disso incluem a distribuição gama e a distribuição t dos alunos. A importância da função gama não pode ser exagerada.

O primeiro exemplo de cálculo que estudaremos é encontrar o valor da função gama para Γ (1). Isso é encontrado definindo

∫₀^∞e ^{- t}dt

Calculamos a integral acima em duas etapas:

• A integral indefinida ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Esta é uma integral incorreta, então temos ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

O próximo exemplo de cálculo que consideraremos é semelhante ao último exemplo, mas aumentamos o valor de z por 1. Agora calculamos o valor da função gama para Γ (2) configurando z = 2 na fórmula acima. Os passos são os mesmos que acima:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

A integral indefinida ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Embora tenhamos apenas aumentado o valor de z por 1, é preciso mais trabalho para calcular essa integral. Para encontrar essa integral, devemos usar uma técnica de cálculo conhecida como Integração por partes. Agora usamos os limites de integração da mesma forma que acima e precisamos calcular:

lim_{b → ∞}- estar ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Um resultado do cálculo conhecido como regra de L´Hospital nos permite calcular o limite_{b → ∞}- estar ^{- b} = 0. Isso significa que o valor da nossa integral acima é 1.

Outra característica da função gama e uma que a conecta ao fatorial é a fórmula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) para z qualquer número complexo com um positivo real parte. A razão pela qual isso é verdade é um resultado direto da fórmula para a função gama. Usando a integração por partes, podemos estabelecer essa propriedade da função gama.