O que são funções de crescimento exponencial?

Funções exponenciais contam histórias de mudanças explosivas. Os dois tipos de funções exponenciais são crescimento exponencial e decaimento exponencial. Quatro variáveis ​​(alteração percentual, hora, a quantia no início do período e a quantia no final do período) desempenham papéis em funções exponenciais. A seguir, o foco é o uso de funções de crescimento exponencial para fazer previsões.

Crescimento exponencial é a mudança que ocorre quando um valor original é aumentado por uma taxa consistente ao longo de um período de tempo

Usos do crescimento exponencial na vida real:

• Valores dos preços da habitação
• Valores dos investimentos
• Maior participação de um site popular de rede social

A Edloe and Co. confia na publicidade boca a boca, a rede social original. Cinqüenta compradores disseram a cinco pessoas, e cada um desses novos compradores contou a cinco pessoas, e assim por diante. O gerente registrou o crescimento dos compradores da loja.

• Semana 0: 50 compradores
• Semana 1: 250 compradores
• Semana 2: 1.250 compradores
• Semana 3: 6.250 compradores
• Semana 4: 31.250 compradores

Primeiro, como você sabe que esses dados representam crescimento exponencial? Faça a si mesmo duas perguntas.

1. Os valores estão aumentando? sim
2. Os valores demonstram um aumento percentual consistente? sim.

Aumento percentual: (Mais recente - Mais antigo) / (Mais antigo) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Verifique se o aumento percentual persiste ao longo do mês:

Aumento percentual: (Mais recente - Mais antigo) / (Mais antigo) = (1.250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Aumento percentual: (Mais recente - Mais antigo) / (Mais antigo) = (6.250 - 1.250) / 1.250 = 4,00 = 400%

Cuidado - não confunda crescimento exponencial e linear.

O seguinte representa crescimento linear:

• Semana 1: 50 compradores
• Semana 2: 50 compradores
• Semana 3: 50 compradores
• Semana 4: 50 compradores

Nota: Crescimento linear significa um número consistente de clientes (50 compradores por semana); crescimento exponencial significa um aumento percentual consistente (400%) dos clientes.

Aqui está uma função de crescimento exponencial:

y = uma(1 + b)^x

• y: Valor final restante por um período de tempo
• uma: A quantidade original
• x: Tempo
• o fator de crescimento é (1 + b).
• A variável b, é a alteração percentual na forma decimal.

Preencher os espaços:

• uma = 50 compradores
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^x

Nota: Não preencha valores para x e y. Os valores de x e y mudará ao longo da função, mas a quantidade original e a alteração percentual permanecerão constantes.

Suponha que a recessão, o principal motivador dos compradores para a loja, persista por 24 semanas. Quantos compradores semanais a loja terá durante o 8^º semana?

Cuidado, não duplique o número de compradores na semana 4 (31.250 * 2 = 62.500) e acredite que é a resposta correta. Lembre-se, este artigo é sobre crescimento exponencial, não crescimento linear.

Use Order of Operations para simplificar.

y = 50(1 + 4)^x

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parêntese)

y = 50 (390.625) (expoente)

y = 19.531.250 (Multiplicar)

19.531.250 compradores

Antes do início da recessão, a receita mensal da loja pairava em torno de US $ 800.000. Uma loja receita é o valor total em dólar que os clientes gastam na loja em bens e serviços.

Receitas da Edloe and Co.

• Antes da recessão: US $ 800.000
• 1 mês após a recessão: US $ 880.000
• 2 meses após a recessão: US $ 968.000
• 3 meses após a recessão: US $ 1.171.280
• 4 meses após a recessão: US $ 1.288.408

Use as informações sobre as receitas da Edloe and Co para concluir de 1 a 7.

1. Quais são as receitas originais?
2. Qual é o fator de crescimento?
3. Como esses dados modelam crescimento exponencial?
4. Escreva uma função exponencial que descreva esses dados.
5. Escreva uma função para prever receitas no quinto mês após o início da recessão.
6. Quais são as receitas no quinto mês após o início do recessão?
7. Suponha que o domínio dessa função exponencial seja 16 meses. Em outras palavras, suponha que a recessão dure 16 meses. Em que momento as receitas ultrapassarão 3 milhões de dólares?