A probabilidade de rolar um Yahtzee

Yahtzee é um jogo de dados que envolve uma combinação de chance e estratégia. Um jogador começa seu turno rolando cinco dados. Após esta jogada, o jogador pode decidir jogar novamente qualquer número de dados. No máximo, há um total de três jogadas para cada turno. Após esses três lançamentos, o resultado dos dados é inserido em uma folha de pontuação. Esta folha de pontuação contém categorias diferentes, como um Casa cheia ou grande reta. Cada uma das categorias está satisfeita com diferentes combinações de dados.

A categoria mais difícil de preencher é a de um Yahtzee. Um Yahtzee ocorre quando um jogador rola cinco do mesmo número. Quão improvável é um Yahtzee? Esse é um problema muito mais complicado do que encontrar probabilidades de dois ou mesmo três dados. A principal razão é que existem muitas maneiras de obter cinco dados correspondentes durante três jogadas.

Podemos calcular a probabilidade de rolar um Yahtzee usando a fórmula combinatória para combinações e dividindo o problema em várias mutuamente exclusivos casos.

O caso mais fácil a considerar é obter um Yahtzee imediatamente no primeiro lançamento. Vamos primeiro olhar para o probabilidade de rolar um Yahtzee em particular de cinco anos e depois estender isso facilmente à probabilidade de qualquer Yahtzee.

A probabilidade de rolar um dois é 1/6, e o resultado de cada dado é independente do resto. Portanto, a probabilidade de rolar cinco pares é (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. A probabilidade de rolar cinco de um tipo de qualquer outro número também é 1/7776. Como há um total de seis números diferentes em um dado, multiplicamos a probabilidade acima por 6.

Isso significa que a probabilidade de um Yahtzee no primeiro rolo é de 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 por cento.

Se lançarmos algo diferente de cinco de um tipo do primeiro lançamento, teremos que rolar alguns de nossos dados para tentar obter um Yahtzee. Suponha que nosso primeiro lançamento tenha quatro do mesmo tipo. relançamos o dado que não corresponde e, em seguida, obtemos um Yahtzee nesse segundo lançamento.

A probabilidade de rolar um total de cinco dois dessa maneira é encontrada da seguinte maneira:

1. No primeiro rolo, temos quatro duplas. Como existe uma probabilidade 1/6 de rolar um dois e 5/6 de não rolar um dois, multiplicamos (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Qualquer um dos cinco dados rolados poderia ser o não-dois. Usamos nossa fórmula de combinação para C (5, 1) = 5 para contar quantas maneiras podemos fazer quatro pares e algo que não é dois.
3. Nós multiplicamos e vemos que a probabilidade de rolar exatamente quatro pares no primeiro rolo é 25/7776.
4. No segundo rolo, precisamos calcular a probabilidade de rolar um dois. Isso é 1/6. Assim, a probabilidade de rolar um Yahtzee de dois na maneira acima é (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Para encontrar a probabilidade de rolar qualquer Yahtzee dessa maneira, é possível multiplicar por 6 a probabilidade acima, porque existem seis números diferentes em um dado. Isso fornece uma probabilidade de 6 x 25/46656 = 0,32 por cento.

Mas essa não é a única maneira de rolar um Yahtzee com dois rolos. Todas as probabilidades a seguir são encontradas da mesma maneira que acima:

• Poderíamos jogar três do mesmo tipo e, em seguida, dois dados que correspondam ao nosso segundo lançamento. A probabilidade disso é 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 por cento.
• Poderíamos rolar um par correspondente e, no nosso segundo lançamento, três dados correspondentes. A probabilidade disso é 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 por cento.
• Poderíamos rolar cinco dados diferentes, salvar um dado do nosso primeiro lançamento e depois rolar quatro dados que coincidissem com o segundo lançamento. A probabilidade disso é (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 por cento.

Os casos acima são mutuamente exclusivos. Isso significa que, para calcular a probabilidade de rolar um Yahtzee em dois rolos, adicionamos as probabilidades acima e temos aproximadamente 1,23%.

Para a situação mais complicada ainda, examinaremos agora o caso em que usamos os três rolos para obter um Yahtzee. Poderíamos fazer isso de várias maneiras e devemos responder por todas elas.

As probabilidades dessas possibilidades são calculadas abaixo:

• A probabilidade de rolar quatro de um tipo, depois nada, e depois combinar o último dado no último rolo é 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 por cento.
• A probabilidade de rolar três tipos, depois nada, e depois combinar com o par correto no último rolo é 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (25/36) x (1/36) = 0,37 por cento.
• A probabilidade de rolar um par correspondente e, em seguida, nada e, em seguida, corresponder aos três do tipo correto no terceiro rolo é 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 por cento.
• A probabilidade de rolar um único dado e, em seguida, nada que corresponda a isso, e que corresponda aos quatro do tipo correto no terceiro lançamento é (6! / 7776) x (625/1296) x (1/2596) x (1/1296) = 0,003 por cento.
• A probabilidade de rolar três tipos, combinando um dado adicional no próximo rolo, seguido por combinar o quinto dado no terceiro lançamento é 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 por cento.
• A probabilidade de rolar um par, correspondendo a um par adicional no próximo rolo, seguido pela correspondência o quinto dado no terceiro rolo é 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 por cento.
• A probabilidade de rolar um par, correspondendo a um dado adicional no próximo rolo, seguido por igual ao os últimos dois dados no terceiro lançamento são 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 por cento.
• A probabilidade de rolar um de um tipo, outro dado para igualá-lo no segundo lançamento e, em seguida, um de três no terceiro lançamento é (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 por cento.
• A probabilidade de rolar um de um tipo, um de três para corresponder no segundo lançamento, seguido de um jogo no terceiro lançamento é (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 por cento.
• A probabilidade de rolar um de um tipo, um par para correspondê-lo no segundo lançamento e, em seguida, outro par para igualar no terceiro lançamento é (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 por cento.

Adicionamos todas as probabilidades acima juntas para determinar a probabilidade de rolar um Yahtzee em três jogadas dos dados. Essa probabilidade é de 3,43%.

A probabilidade de um Yahtzee em um teste é de 0,08%, a probabilidade de um Yahtzee em dois testes é de 1,23% e a probabilidade de um Yahtzee em três testes é de 3,43%. Como cada um deles é mutuamente exclusivo, adicionamos as probabilidades. Isso significa que a probabilidade de obter um Yahtzee em um determinado turno é de aproximadamente 4,74%. Para colocar isso em perspectiva, como 1/21 é de aproximadamente 4,74%, por acaso, um jogador deve esperar um Yahtzee uma vez a cada 21 turnos. Na prática, pode levar mais tempo, pois um par inicial pode ser descartado para rolar para outra coisa, como um em linha reta.