Probabilidades e Dados do Mentiroso

Muitos jogos de azar podem ser analisados ​​usando a matemática da probabilidade. Neste artigo, examinaremos vários aspectos do jogo chamados Dados do mentiroso. Depois de descrever este jogo, calcularemos as probabilidades relacionadas a ele.

O jogo dos Dados do Mentiroso é na verdade uma família de jogos que envolvem blefes e decepções. Existem várias variantes deste jogo, e ele tem vários nomes diferentes, como Pirate's Dice, Deception e Dudo. Uma versão deste jogo foi apresentada no filme Piratas do Caribe: Baú do Homem Morto.

Na versão do jogo que examinaremos, cada jogador tem uma xícara e um conjunto do mesmo número de dados. Os dados são dados padrão, de seis lados, numerados de um a seis. Todo mundo joga seus dados, mantendo-os cobertos pelo copo. No momento apropriado, um jogador olha para o seu conjunto de dados, mantendo-os ocultos de todos os outros. O jogo foi projetado para que cada jogador tenha conhecimento perfeito de seu próprio conjunto de dados, mas não tenha conhecimento dos outros dados que foram lançados.

Depois que todos tiveram a oportunidade de ver os dados que foram lançados, a licitação começa. Em cada turno, um jogador tem duas opções: faça uma oferta maior ou chame a oferta anterior de mentira. Os lances podem ser feitos mais altos, oferecendo um valor mais alto de um a seis, ou oferecendo um número maior do mesmo valor.

Por exemplo, um lance de "Três duplas" poderia ser aumentado com a indicação "Quatro duplas". Também poderia ser aumentado dizendo "Três três". Em geral, nem o número de dados nem os valores dos dados podem diminuir.

Como a maioria dos dados está oculta, é importante saber calcular algumas probabilidades. Ao saber disso, é mais fácil ver quais lances provavelmente serão verdadeiros e quais serão mentiras.

A primeira consideração é perguntar: "Quantos dados do mesmo tipo esperaríamos?" Por exemplo, se lançarmos cinco dados, quantos deles esperaríamos ser dois? A resposta a esta pergunta usa a idéia de valor esperado.

O valor esperado de uma variável aleatória é a probabilidade de um valor específico, multiplicado por esse valor.

A probabilidade de o primeiro dado ser dois é 1/6. Como os dados são independentes um do outro, a probabilidade de que um deles seja um dois é 1/6. Isso significa que o número esperado de duplas roladas é 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Claro, não há nada de especial no resultado de dois. Também não há nada de especial no número de dados que consideramos. Se rolássemos n dados, então o número esperado de qualquer um dos seis resultados possíveis é n/6. É bom saber esse número, pois nos fornece uma linha de base a ser usada ao questionar lances feitos por outras pessoas.

Por exemplo, se estivermos jogando dados do mentiroso com seis dados, o valor esperado de qualquer um dos valores de 1 a 6 é 6/6 = 1. Isso significa que devemos ser céticos se alguém oferecer mais de um valor. A longo prazo, calcularíamos a média de um de cada um dos valores possíveis.

Suponha que jogamos cinco dados e queremos encontrar a probabilidade de jogar dois três. A probabilidade de um dado ser três é 1/6. A probabilidade de um dado não ser três é 5/6. Os lançamentos desses dados são eventos independentes e, portanto, multiplicamos as probabilidades usando o regra de multiplicação.

A probabilidade de os dois primeiros dados serem três e os outros dados não serem três é dada pelo seguinte produto:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Os dois primeiros dados sendo três são apenas uma possibilidade. Os dados que são três podem ser dois dos cinco dados que lançamos. Denotamos um dado que não é um três por um *. A seguir, são possíveis maneiras de ter dois três em cada cinco rolos:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vemos que há dez maneiras de lançar exatamente dois três em cada cinco dados.

Agora multiplicamos nossa probabilidade acima pelas 10 maneiras pelas quais podemos ter essa configuração de dados. O resultado é 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Isso é aproximadamente 16%.

Agora generalizamos o exemplo acima. Consideramos a probabilidade de rolar n dados e obter exatamente k que são de um certo valor.

Assim como antes, a probabilidade de rolar o número que queremos é 1/6. A probabilidade de não rolar esse número é dada pela regra de complemento como 5/6. Nós queremos k dos nossos dados para ser o número selecionado. Isso significa que n - k são um número diferente daquele que queremos. A probabilidade do primeiro k dado que é um determinado número com os outros dados, esse número não é:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Seria entediante, para não mencionar demorado, listar todas as maneiras possíveis de rolar uma configuração específica de dados. É por isso que é melhor usar nossos princípios de contagem. Por meio dessas estratégias, vemos que estamos contando combinações.

Existem C (n, k) maneiras de rolar k de um certo tipo de dado n dados. Este número é dado pela fórmula n!/(k!(n - k)!)

Juntando tudo, vemos que quando rolamos n dados, a probabilidade de que exatamente k deles são um número específico é dado pela fórmula:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Há outra maneira de considerar esse tipo de problema. Isso envolve a distribuição binomial com probabilidade de sucesso dada por p = 1/6. A fórmula para exatamente k Dado que estes dados são um determinado número, é conhecida como função de massa de probabilidade para o binômio. distribuição.

Outra situação que devemos considerar é a probabilidade de rolar pelo menos um determinado número de um valor específico. Por exemplo, quando jogamos cinco dados, qual é a probabilidade de jogar pelo menos três? Nós poderíamos rolar três, quatro ou cinco. Para determinar a probabilidade que queremos encontrar, somamos três probabilidades.

Abaixo, temos uma tabela de probabilidades para obter exatamente k de um certo valor quando jogamos cinco dados.

A seguir, consideramos a tabela a seguir. Dá a probabilidade de rolar pelo menos um certo número de valor quando lançamos um total de cinco dados. Vemos que, embora seja muito provável que role pelo menos um 2, não é tão provável que role pelo menos quatro 2.