A distribuição binomial envolve uma discreto variável aleatória. Probabilidades em uma configuração binomial pode ser calculado de maneira direta usando a fórmula de um coeficiente binomial. Enquanto em teoria esse é um cálculo fácil, na prática ele pode se tornar bastante tedioso ou até computacionalmente impossível calcular probabilidades binomiais. Esses problemas podem ser evitados usando-se um distribuição normalpara aproximar uma distribuição binomial. Vamos ver como fazer isso seguindo as etapas de um cálculo.
Etapas para usar a aproximação normal
Primeiro, devemos determinar se é apropriado usar a aproximação normal. Nem todo distribuição binomial é o mesmo. Alguns exibem o suficiente assimetria que não podemos usar uma aproximação normal. Para verificar se a aproximação normal deve ser usada, precisamos observar o valor de p, qual é a probabilidade de sucesso e n, que é o número de observações de nossos variável binomial.
Para usar a aproximação normal, consideramos ambos np e n
( 1 - p ). Se esses dois números forem maiores ou iguais a 10, justificamos o uso da aproximação normal. Essa é uma regra geral e, geralmente, quanto maiores os valores de np e n( 1 - p ), melhor é a aproximação.Comparação entre binomial e normal
Compararemos uma probabilidade binomial exata com a obtida por uma aproximação normal. Consideramos o lançamento de 20 moedas e queremos saber a probabilidade de cinco moedas ou menos serem cara. E se X é o número de cabeças, então queremos encontrar o valor:
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).
o uso da fórmula binomial para cada uma dessas seis probabilidades nos mostra que a probabilidade é de 2,0695%. Vamos agora ver quão perto nossa aproximação normal será desse valor.
Verificando as condições, vemos que ambos np e np(1 - p) são iguais a 10. Isso mostra que podemos usar a aproximação normal neste caso. Utilizaremos uma distribuição normal com média de np = 20 (0,5) = 10 e um desvio padrão de (20 (0,5) (0,5))0.5 = 2.236.
Para determinar a probabilidade de que X é menor ou igual a 5, precisamos encontrar o z-score para 5 na distribuição normal que estamos usando. portanto z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Ao consultar uma tabela de z-escores vemos que a probabilidade de que z é menor ou igual a -2.236 é 1.267%. Isso difere da probabilidade real, mas está dentro de 0,8%.
Fator de correção da continuidade
Para melhorar nossa estimativa, é apropriado introduzir um fator de correção de continuidade. Isso é usado porque um distribuição normal é contínuo Considerando que a distribuição binomial é discreto. Para uma variável aleatória binomial, um histograma de probabilidade para X = 5 incluirá uma barra que varia de 4,5 a 5,5 e está centralizada em 5.
Isso significa que, para o exemplo acima, a probabilidade de que X menor ou igual a 5 para uma variável binomial deve ser estimada pela probabilidade de X é menor ou igual a 5,5 para uma variável normal contínua. portanto z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. A probabilidade de que z